已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是3333．

Question

已知F₁，F₂是椭圆的两个焦点，过F₁且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF₂是正三角形，则这个椭圆的离心率是

(√(3))/(3)

(√(3))/(3)

．

Answer 1

∵△ABF₂是正三角形，
∴∠AF₂B=60°，
∵直线AB与椭圆长轴垂直，
∴F₂F₁是正三角形△ABF₂的高，∠AF₂F₁=(1)/(2)×60°=30°，
Rt△AF₂F₁中，设|AF₁|=m，sin30°=(|AF1|)/(|AF2|)＝(1)/(2)，
∴|AF₂|=2m，|F₁F₂|=√(|AF2|2−|AF1|2)＝√(3)m
因此，椭圆的长轴2a=|AF₁|+|AF₂|=3m，焦距2c=√(3)m
∴椭圆的离心率为e=(c)/(a)＝(2c)/(2a)=(√(3))/(3)．
故答案为：(√(3))/(3)