已知一个三棱锥的三视图如图所示，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该求的体积为（）A.32π3B.4πC.2πD.4π3

Question

已知一个三棱锥的三视图如图所示，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该求的体积为（　　）

A.

(32π)/(3)

B. 4π

C. 2π

D.

(4π)/(3)

Answer 1

根据三视图作出棱锥D-ABC的直观图，其中底面ABC是等腰直角三角形，AC=BC=1，DC⊥底面ABC，DC=√(2)，
取AB中点E，过E作EH⊥底面ABC，且HE=(1)/(2)DC=(√(2))/(2)．连结AH，则H为三棱锥外接球的球心．AH为外接球的半径．
∵AE=(1)/(2)AB=(√(2))/(2)，∴AH=√(AE2+EH2)=1．
∴棱锥外接球的体积V=(4)/(3)π×13=(4π)/(3)．
故选D．