已知四棱锥P-ABCD的三视图和直观图如图所示，其中正视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条对角线的正方形．E是侧棱PC上的动点．（1）求证：BD⊥AE；（2）若E为PC的中点，求直线BE与

Question

已知四棱锥P-ABCD的三视图和直观图如图所示，其中正视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条对角线的正方形．E是侧棱PC上的动点．
（1）求证：BD⊥AE；
（2）若E为PC的中点，求直线BE与平面PBD所成角的正弦值．

Answer 1

（1）证明：由已知PC⊥BC，PC⊥DC，BC∩DC=C，
∴PC⊥面ABCD
∵BD⊂面ABCD，
∴BD⊥PC，
∵BD⊥AC，PC∩AC=C，
∴BD⊥面PAC，
又∵AE⊂面PAC，∴BD⊥AE．
（2）解；连AC交BD于点O，连PO，
由（1）知BD⊥面PAC，∴面BED⊥面PAC，
过点E作EH⊥PO于H，则EH⊥面PBD，
∴∠EBH为BE与平面PBD所成的角．
∵EH=(1)/(3)，BE=√(2)，
∴sin∠EBH=((1)/(3))/(√(2))=(√(2))/(6)．