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一个空间几何体G-ABCD的三视图如图所示,其中Ai,Bi,Ci,Di,Gi(i=1,2,3)分别是A,B,C,D,G在直立、侧立、水平三个投影面内的投影.在视图中,四边形A1B2C3D4为正方形,且A1B2=2a;在侧
题目详情
一个空间几何体G-ABCD的三视图如图所示,其中Ai,Bi,Ci,Di,Gi(i=1,2,3)分别是A,B,C,D,G在直立、侧立、水平三个投影面内的投影.在视图中,四边形A1B2C3D4为正方形,且A1B2=2a;在侧视图中,A2D2⊥A2G2;在俯视图中,G3D3=G3C3=2
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(Ⅰ)根据三视图画出几何体的直观图,并标明A,B,C,D,G五点的位置;
(Ⅱ)证明:平面AGD⊥平面BGC;
(Ⅲ)求三棱锥D-ACG的体积.
2a |
(Ⅰ)根据三视图画出几何体的直观图,并标明A,B,C,D,G五点的位置;
(Ⅱ)证明:平面AGD⊥平面BGC;
(Ⅲ)求三棱锥D-ACG的体积.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)空间几何体的直观图如图所示,
且可得到平面ABCD⊥平面ABG,四边形
ABCD为正方形,AG=BG=
a,AB=2a,
故AG⊥BG(4分)
(Ⅱ)∵平面ABCD⊥平面ABG,
面ABCD∩平面ABG=AB,CB⊥AB,
∴CB⊥平面ABG,故CB⊥AG(6分)
又AG⊥BG,∴AG⊥平面BGC.
∴平面AGD⊥平面BGC(8分)
(Ⅲ)过G作GE⊥AB,垂足为E,
则GE⊥平面ABCDVD−AGC=VG−ADC=
×
AD×DC×GE=
•(2a)2•a=
a3.(12分)
且可得到平面ABCD⊥平面ABG,四边形
ABCD为正方形,AG=BG=
2 |
故AG⊥BG(4分)
(Ⅱ)∵平面ABCD⊥平面ABG,
面ABCD∩平面ABG=AB,CB⊥AB,
∴CB⊥平面ABG,故CB⊥AG(6分)
又AG⊥BG,∴AG⊥平面BGC.
∴平面AGD⊥平面BGC(8分)
(Ⅲ)过G作GE⊥AB,垂足为E,
则GE⊥平面ABCDVD−AGC=VG−ADC=
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