设x，y为正数，且x+y=1，用反证法证明：（1x2-1）（1y2-1）≥9．

Question

设x，y为正数，且x+y=1，用反证法证明：（(1)/(x2)-1）（(1)/(y2)-1）≥9．

Answer 1

证明：假设((1)/(x2)−1)((1)/(y2)−1)＜9，由于x，y＞0，且x+y=1，所以((1)/(x2)−1)((1)/(y2)−1)＝((1+x)(1−x))/(x2)×((1+y)(1−y))/(y2)＝((1+x)y)/(x2)×((1+y)x)/(y2)＝(1+x)/(x)×(1+y)/(y)
=(1+x)/(x)×(2−x)/(1−x)＜9，
由此得（2x-1）²＜0，这是不可能的．
故原不等式成立．