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(文科)设函数f(x)=2x+ax+1(a≠2).(1)用反证法证明:函数f(x)不可能为偶函数;(2)求证:函数f(x)在(-∞,-1)上单调递减的充要条件是a>2.
题目详情
(文科)设函数f(x)=
(a≠2).
(1)用反证法证明:函数f(x)不可能为偶函数;
(2)求证:函数f(x)在(-∞,-1)上单调递减的充要条件是a>2.
2x+a |
x+1 |
(1)用反证法证明:函数f(x)不可能为偶函数;
(2)求证:函数f(x)在(-∞,-1)上单调递减的充要条件是a>2.
▼优质解答
答案和解析
(1)假设函数f(x)是偶函数,
则f(-2)=f(2),即
=
,解得a=2,
这与a≠2矛盾,
∴函数f(x)不可能是偶函数.
(2)证明:∵f(x)=
,(x≠-1).
∴f′(x)=
.
①充分性:当a>2时,f′(x)=
<0,
∴函数f(x)在(-∞,-1)单调递减;
②必要性:当函数f(x)在(-∞,-1)单调递减时,
有f′(x)=
≤0,即a≥2,又a≠2,∴a>2.
综合①②知,原命题成立.
则f(-2)=f(2),即
−4+a |
−1 |
4+a |
3 |
这与a≠2矛盾,
∴函数f(x)不可能是偶函数.
(2)证明:∵f(x)=
2x+a |
x+1 |
∴f′(x)=
2−a |
(x+1)2 |
①充分性:当a>2时,f′(x)=
2−a |
(x+1)2 |
∴函数f(x)在(-∞,-1)单调递减;
②必要性:当函数f(x)在(-∞,-1)单调递减时,
有f′(x)=
2−a |
(x+1)2 |
综合①②知,原命题成立.
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