为什么在同周长中圆面积最大

Question

为什么在同周长中圆面积最大

Answer 1

严密证明要用微积分.
下面给个思维逻辑：
1、首先同周长,凸形比凹形面积大；凹形凹部分外翻得到凸形,周长不变,面积增大；
2、闭合曲线上任取A、B两点,平分周长,两边面积如果不相等,则留下大的部分,翻转到小的部分,周长不变,面积增大；
3、如果两部分相等,则留下任一部分,翻到另外一边,周长不变,面积不变；
那么如果得到的图形是凹形,那么就可以运用第1点增加面积；
所以,只有当闭合凸曲线任取两点平分周长,得到的两部分面积对称的情况下,才不能再运用以上3点增加面积.
那么闭合曲线两点平分周长,得到两部分面积都对称的图形就是圆.
（如正方形任取2点平分周长,两边面积相等,留下一半,翻转一遍,形成一个凹形,凹形部分外翻,面积增加.）