如图,在三角形ABC中,点O是AC的一个动点,（O点与A,C不重合）,过点O作直线MN平行BC,设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.（1）证OE=OF（2）当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?说明

Question

如图,在三角形ABC中,点O是AC的一个动点,（O点与A,C不重合）,过点O作直线MN平行BC,设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.
（1）证OE=OF
（2）当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?说明理由.

Answer 1

（1）∵EF//BC,∴∠OEC=∠ECB,
且CE为∠ACB平分线,∠ECB=∠OCE
∴∠OCE=∠OEC
推出OE=OC
同理可得OC=OF（到这还有一种方法证明：内外角和是180°,平分后和是90°∴∠ECF是直角,且OE=OC,定理：直角三角形斜边中线等于斜边一半,用它的逆定理可得OC是中线）
∴OE=OF
（2）当O运动到AC中点时,四边形AECF是矩形.
∵∠ECF=90°,∴只要证明四边形AECF是平行四边形就可以得出它是矩形的结论（定理：一个角是直角的平行四边形是矩形.）
∵O是EF中点（上问已证）,O是AC中点,∴四边形AECF是平行四边形（定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形）.
又∵∠ECF=90°,∴四边形AECF是矩形.