两圆x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1+4b2=0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R，且ab≠0，则1a2+1b2的最小值为（）A．19B．49C．1D．3

Question

两圆x ² +y ² +2ax+a ² -4=0和x ² +y ² -4by-1+4b ² =0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R，且ab≠0，则 (1)/(a2) +(1)/(b2) 的最小值为（　　）

A． (1)/(9)

B． (4)/(9)

C．1

D．3

Answer 1

由题意可得 两圆相外切，两圆的标准方程分别为 （x+a） ² +y ² =4，x ² +（y-2b） ² =1，
圆心分别为（-a，0），（0，2b），半径分别为 2和1，故有

a 2 +4 b 2

=3，∴a ² +4b ² =9，
∴ (a2 + 4b2)/(9) =1，∴ (1)/(a2) +(1)/(b2) = (a2 + 4b2)/(9 a2) + (a2 + 4b2)/(9 b2) = (1)/(9)  +(4)/(9) + (4 b2)/(9 a2) + (a2)/(9 b2)  
≥ (5)/(9) +2

(4)/(81)

=1，当且仅当 (4 b2)/(9 a2) = (a2)/(9 b2)  时，等号成立，
故选  C．