已知函数f（x）=ex，g（x）=ln（x+a）．（I）若已知函数f（x）的图象与g（x）图象有一条通过坐标原点的公切线，求a的值；（II）当a≤2时，证明：f（x）>g（x）．

Question

已知函数f（x）=e^x，g（x）=ln（x+a）．
（ I）若已知函数f（x）的图象与g（x）图象有一条通过坐标原点的公切线，求a的值；
（ II）当a≤2时，证明：f（x）>g（x）．

Answer 1

（I）函数f（x）=e^x的导数为f′（x）=e^x，
设切点为（m，e^m），f′（m）=e^m=(em)/(m)，
解得m=1，
则f（1）=e，f′（1）=e，
易得f（x）=e^x过原点的公切线为y=ex，
故y=ex为g（x）=ln（x+a）的切线，
设切点为（x₀，y₀），则有：

ln(x0+a)=ex0

(1)/(x0+a)=e

，解得a=(2)/(e)；
（II）证明：当a≤2时，f（x）>g（x）即证e^x-ln（x+a）≥0，
由y=e^x和直线y=x+1的图象可得，e^x≥x+1；
由y=ln（x+2）和直线y=x+1的图象可得，ln（x+2）≤x+1，
则e^x-ln（x+2）≥（x+1）-（x+1）=0，
可得e^x-ln（x+2）≥0，
即e^x≥ln（x+a），
则f（x）>g（x）．