（2014•合肥模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，P是△BCD内一动点，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，分别于对角线BD相交于点E，F．记PM=a，PN=b，当点P运动时，ab=2．（1）求证：EF2=BE2+DF2；（2）求

Question

（2014•合肥模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，P是△BCD内一动点，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，分别于对角线BD相交于点E，F．记PM=a，PN=b，当点P运动时，ab=2．
（1）求证：EF²=BE²+DF²；
（2）求证：△ABF∽△EDA，并求∠EAF的度数；
（3）设△AEF的面积为S，试探究S是否存在最小值？若存在，请求出S的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴AB=AD=2，∠ABF=∠ADE=45°，
∵PM⊥AB，PN⊥AD，
∴四边形AMPN是矩形，
∴△BME、△DNF、△PEF均为等腰直角三角形，
∵PM=a，PN=b，
∴BM=EM=2-b，DN=FN=2-a，PE=PF=a+b-2，
∴DF²=2（2-a）²=2a²-8a+8，
BE²=2（2-b）²=2b²-8b+8，
EF²=2（a+b-2）²=2a²+4ab+2b²-8a-8b+8，
∵ab=2，
∴EF²=2a²+2b²-8a-8b+16，
∴EF²=BE²+DF²；

（2）证明：∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴AB=AD=2，∠ABF=∠ADE=45°，
∵PM⊥AB，PN⊥AD，
∴四边形AMPN是矩形，
∴PM∥AN，NP∥AM，
∴(DE)/(AM)=(BD)/(AB)=√(2)，(BF)/(AN)=(BD)/(AD)=√(2)，
∴DE=√(2)AM，BF=√(2)AN，
∴DE•BF=√(2)AM•√(2)AN=2ab，
∵ab=2，
∴DE•BF=4，
∴DE•BF=AB•AD，即(DE)/(AB)=(AD)/(BF)，
又∵∠ABF=∠EDA=45°，
∴△ABF∽△EDA，
∴∠BAF=∠AED