如图，在平面直角坐标系xOy中，A（a，0）（a＞0），B（0，a），C（-4，0）D（0，4）设△AOB的外接圆圆心为E．（1）若⊙E与直线CD相切，求实数a的值；（2）设点P在圆E上，使△PCD的面积等于12

Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，A（a，0）（a＞0），B（0，a），C（-4，0）D（0，4）设△AOB的外接圆圆心为E．
（1）若⊙E与直线CD相切，求实数a的值；
（2）设点P在圆E上，使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个，试问这样的⊙E是否存在，若存在，求出⊙E的标准方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵C（-4，0）、D（0，4），
∴直线CD方程为(x)/(−4)+(y)/(4)＝1．化简得x-y+4=0．
又∵△AOB的外接圆圆心为E（(1)/(2)a，(1)/(2)a），半径r=(√(2))/(2)a．
∴由⊙E与直线CD相切，得圆心E到直线CD的距离等于半径，
即(|(1)/(2)a−(1)/(2)a+4|)/(√(2))=(√(2))/(2)a，即2√(2)=(√(2))/(2)a，解之得a=4；
（2）C（-4，0）、D（0，4），可得|CD|=√((−4−0)2+(0−4)2)=4√(2)，
设P到直线CD的距离为d，可得△PCD的面积S=(1)/(2)|CD|×d=12，
即(1)/(2)×4√(2)×d＝12，解之得d=3√(2)．
因此，只须与CD平行且与CD距离为3√(2)的两条直线中的一条与⊙E相切，
另一条与⊙E相交．
∵由（1）的计算，可知圆心E到直线CD距离为2√(2)，
∴圆E的半径为2√(2)+3√(2)=5√(2)，即r=(√(2))/(2)a=5√(2)，解得a=10．
即存在a=10，满足使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个，⊙E的标准方程是（x-5）²+（y-5）²=50．