如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠BAC=60°，H为边AC，AB上的高BD，CE的交点，在BD上取点M，使BM=CH．（1）求证：∠BOC=∠BHC；（2）求证：△BOM≌△COH；（3）求MHOH的值．

Question

如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠BAC=60°，H为边AC，AB上的高BD，CE的交点，在BD上取点M，使BM=CH．

（1）求证：∠BOC=∠BHC；
（2）求证：△BOM≌△COH；
（3）求(MH)/(OH)的值．

Answer 1

（1）∵∠BAC=60°，∠BOC与∠BAC为

BC

所对的圆心角和圆周角，
∴∠BOC=2∠BAC=120°，
又∵BD、CE为三角形的高，
∴∠BHC=∠DHE=180°-∠BAC=120°，
∴∠BOC=∠BHC；
（2）∵∠BOC=∠BHC，
∴B、O、H、C四点共圆，∠OBM=∠OCH，
∵O为△ABC的外心，
∴OB=OC，
又∵BM=CH，
∴△BOM≌△COH；
（3）作OG⊥BD，垂足为G，由（2）可知OM=OH，∠BOM=∠COH，
∴∠MOH=∠BOC=120°，∠OHG=30°，
在Rt△OHG中，
HG=OH•cos30°=(√(3))/(2)OH，
∴MH=2HG=√(3)OH，
∴(MH)/(OH)=√(3)．