若以椭圆的四个顶点为顶点的菱形的内切圆过椭圆的焦点，则椭圆的离心率为（）A．3−52B．5−12C．3−12D．2−12

Question

若以椭圆的四个顶点为顶点的菱形的内切圆过椭圆的焦点，则椭圆的离心率为（　　）

A．(3−√(5))/(2)
B．(√(5)−1)/(2)
C．(√(3)−1)/(2)
D．(√(2)−1)/(2)

Answer 1

根据题意，设椭圆的四个顶点构成的菱形为ABCD，
设点A（a，0），B（0，b），可得直线AB的方程为：(x)/(a)+(y)/(b)＝1，即bx+ay-ab=0
∵菱形ABCD的内切圆恰好过焦点，
∴原点O到直线AB的距离等于半焦距，即(|−ab|)/(√(b2+a2))＝c，
两边平方，整理得a²b²=c²（a²+b²）．
∵b²=a²-c²，
∴a²（a²-c²）=c²（2a²-c²），化简得a⁴-3a²c²+c⁴=0，
两边都除以a⁴，得((c)/(a))4−3((c)/(a))2+1＝0，即e⁴-3e²+1=0
解之得e²=(3±√(5))/(2)，
∵0＜e＜1，∴e²=(3−√(5))/(2)＝((√(5)−1)/(2))2，可得e=(√(5)−1)/(2)．
故选：B．