已知△ABC是边长为3，4，5的直角三角形，点P是此三角形内切圆上一动点，分别以PA、PB、PC为直径作圆，则这三个圆的面积之和的最大值与最小值的和为（）A.12πB.10πC.8πD.6π

Question

已知△ABC是边长为3，4，5的直角三角形，点P是此三角形内切圆上一动点，分别以PA、PB、PC为直径作圆，则这三个圆的面积之和的最大值与最小值的和为（　　）
A. 12π
B. 10π
C. 8π
D. 6π

Answer 1

建立坐标系 设A（3，0），B（0，4），C（0，0），P（x，y），△ABC内切圆半径为r．
∵三角形ABC面积 S=(1)/(2)AB×AC=(1)/(2)（AB+AC+BC）r=12，解得 r=1
即内切圆圆心坐标为 （1，1）
∵P在内切圆上
∴（x-1）²+（y-1）²=1
∵P点到A，B，C距离的平方和为 d=x²+y²+（x-3）²+y²+x²+（y-4）²=3（x-1）²+3（y-1）²-2y+19=22-2y
显然 0≤y≤2 即 18≤d≤22，
∴(9π)/(2)≤(πd)/(4)≤(11π)/(2) 即以PA，PB，PC为直径的三个圆面积之和最大值为(11π)/(2) 最小值为 (9π)/(2)．
故选B．