(25分)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F，联结AD与内切圆相交于另一点P，联结PC、PE、PF.已知PC⊥PF.求证:(1)EP/DE=PD/DC;(2)△EPD是等腰三角形.

Question

(25分)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F，联结AD与内切圆相交于另一点P，联结PC、PE、PF.已知PC⊥PF.求证:
(1)EP/DE=PD/DC;(2)△EPD是等腰三角形.

Answer 1

(1)如图，联结DF.则△BDF是等腰直角三角形.于是，∠FPD=∠FDB=45°.故∠DPC=45°.

又因为∠PDC=∠PFD，所以，△PFD∽△PDC.
从而，PF/FD=PD/DC.①
由∠AFP=∠ADF，∠AEP=∠ADE，
得△AFP∽△ADF，△AEP∽△ADE.
于是，EP/DE=AP/AE=AP/AF=FP/DF.
故由式①得EP/DE=PD/DC.
(2)因为∠EPD=∠EDC，结合式②得△EPD’∽△EDC.所以，△EPD也是等腰三角形.

略