已知圆，若焦点在轴上的椭圆过点，且其长轴长等于圆的直径．（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线与，与圆交于、两点，交椭圆于另一点，设直

Question

已知圆 ，若焦点在 轴上的椭圆  过点 ，且其长轴长等于圆 的直径．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点 作两条互相垂直的直线 与 ， 与圆 交于 、 两点， 交椭圆于另一点 ，设直线 的斜率为 ，求弦 长；
（3）求 面积的最大值．

Answer 1

已知圆 ，若焦点在 轴上的椭圆  过点 ，且其长轴长等于圆 的直径．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点 作两条互相垂直的直线 与 ， 与圆 交于 、 两点， 交椭圆于另一点 ，设直线 的斜率为 ，求弦 长；
（3）求 面积的最大值．

（1） ；（2） ；（3） ．

试题分析：（1）由题意可知 ，又因为椭圆过点 ，代入方程可求得 ，从而得到标准方程；（2）可设直线 的方程为 ，根据点到直线的距离公式求出弦心距，再根据勾股定理可算出半弦长，从而得到弦长 ；（3）因为 ，故直线 的方程为 ，和椭圆的方程联立方程组，从而求出 的长，则三角形 的面积为 ，利用基本不等式求出最大值．
试题解析：
（1）由题意得， ，所以椭圆C的方程为 ．
（2）设 ，由题意知直线 的斜率存在，不妨设其为 ，则直线 的方程为 ，
又圆O： ，故点O到直线 的距离 ，
所以 ．
（3）因为 ，故直线 的方程为 ，
由 消去 ，整理得 ，
故 ，所以 ，
设 的面积为S，则

作业帮用户 2017-09-21

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