△ABC的面积为S,点O是△ABC所在平面外一点,点MNP分别为△OAB,△OBC,△OAC的重心,求△MNP的面积

Question

△ABC的面积为S,点O是△ABC所在平面外一点,点MNP分别为△OAB,△OBC,△OAC的重心,求△MNP的面积

Answer 1

设AB、AC的中点分别为x、y
连接Ox、Oy,则M、N必在Ox和Oy上,根据重心三分中线长度知道
xM=Ox/3,Ny=Oy/3
所以,MN‖xy‖BC
∴ ΔOMN ∽ Δ Oxy
∵ OM=Ox-Mx=2xO/3,ON=Oy-Ny=2yO/3∴
∴ MN:xy=OM:Ox=2/3
又∵ x、y分别是AB、AC的中点,xy=BC/2
∴ MN=(2BC/2)/3=BC/3
同理,可以证明：PM‖AC,PN‖AB,且
PM=AC/3,PN=AB/3
所以,三角形MNP∽ABC,相似比为MN:BC=1:3
所以,△MNP的面积：△ABC的面积S=（1/3）^2=1/9
即S△MNP=S/9