如图，平行四边形OABC在平面直角坐标系中，A（4，0）、C（1，3）．（1）求B点的坐标；（2）若P是线段AB上的动点，问∠PCB+∠POA∠CPO是否为定值？若是，求出其值；若不是，求其范围．（3）

Question

如图，平行四边形OABC在平面直角坐标系中，A（4，0）、C（1，3）．

（1）求B点的坐标；
（2）若P是线段AB上的动点，问(∠PCB+∠POA)/(∠CPO)是否为定值？若是，求出其值；若不是，求其范围．
（3）若P是线段AB上的动点，(S△BCP+S△OAP)/(S四边形OABC)是否为定值？若是，求出其值；若不是，求其范围．

Answer 1

（1）如图1，延长BC交y轴于点D，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴BC=OA=4，且C点坐标为（1，3），
∴CD=1，OD=3，
∴B点坐标为（5，3）；

（2）如图2，过点P作PE∥BC，交OC于点E，
∵BC∥OA，
∴PE∥OA，
∴∠BCP=∠CPE，∠POA=∠OPE，
∴∠OPC=∠CPE+OPE=∠BCP+∠POA，
∴(∠PCB+∠POA)/(∠CPO)=(∠CPO)/(∠CPO)=1，
∴(∠PCB+∠POA)/(∠CPO)是定值，其值为1；

（3）设平行四边形OABC的AB边上的高为h，
则S_△BCP=(1)/(2)BP•h，S_△OAP=(1)/(2)AP•h，S_{平行四边形OABC}=AB•h，
所以S_△BCP+S_△OAP=(1)/(2)（BP+AP）h=(1)/(2)AB•h=(1)/(2)S_{平行四边形OABC}，
所以(S△BCP+S△OAP)/(S四边形OABC)=((1)/(2)S四边形OABC)/(S四边形OABC)=(1)/(2)，
所以(S△BCP+S△OAP)/(S四边形OABC)是定值，其值为(1)/(2)．