已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，a≠0）的对称轴为直线x=-1，且方程f（x）+x=0有等根．（1）求f（x）的解析式；（2）是否存在实数m，n（m＜n），使x∈[m，n]时，函数f（x）的最大值为3n

Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx（a，b为常数，a≠0）的对称轴为直线x=-1，且方程f（x）+x=0有等根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在实数m，n（m＜n），使x∈[m，n]时，函数f（x）的最大值为3n、最小值为3m，如果存在，求出 m、n的值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵二次函数f（x）=ax²+bx（a，b为常数，a≠0）的对称轴为直线x=-1，且方程f（x）+x=0有等根．
∴(b)/(2a)=1，由方程有两个相等实根，得△=（b+1）²-4a×0=0，
∴b=-1，a=-(1)/(2)
故f（x）=-(1)/(2)x²-x；
（2）假设存在实数m、n满足条件，由（1）知，
f（x）=-(1)/(2)x²-x=-(1)/(2)（x+1）²+(1)/(2)≤(1)/(2)，则3n≤(1)/(2)，即n≤(1)/(6)，
∵f（x）=-(1)/(2)（x+1）²+(1)/(2)的对称轴为x=-1，
∴当n≤(1)/(6)时，
①当m＜n≤-1时，f（x）为增函数
∴f（m）=3m，f（n）=3n
 解得m₁=0，m₂=-8
 n₁=0，n₂=-8，
∵m＜n，∴m=-8，n=0；
 ②当m＜-1＜n时，
 函数f（-1）=-(1)/(2)-1=−(3)/(2)=3n，解得n=−(1)/(2)，
所以最小值为f（(1)/(2)）=3m，或者f（m）=3m，
解得m=-(1)/(12)（舍去），或者m=-8，m=0（舍去）；
 ③当-1≤m＜n≤(1)/(6)，f（m）=3n，f（n）=3m，
解得m+n=4，与-1≤m＜n≤(1)/(6)矛盾．
∴不存在-1≤m＜n≤(1)/(6)，
综上所述
m=-8，n=0或者m=-8，n=−(1)/(2)．