如图，已知二次函数y=x2-（m-3）x-m的图象是抛物线．（1）试求m为何值时，抛物线与x轴的两个交点间的距离是3？（2）当m为何值时，方程x2-（m-3）x-m=0的两个根均为负数？（3）设抛物线的顶

Question

如图，已知二次函数y=x²-（m-3）x-m的图象是抛物线．

（1）试求m为何值时，抛物线与x轴的两个交点间的距离是3？
（2）当m为何值时，方程x²-（m-3）x-m=0的两个根均为负数？
（3）设抛物线的顶点为M，与x轴的交点P、Q，求当PQ最短时△MPQ的面积．

Answer 1

（1）根据题意得(√((m-3)2-4•(-m)))/(1)=3，
解得m₁=0，m₂=2，
即m为0或2时，抛物线与x轴的两个交点间的距离是3；
（2）∵△=（m-3）²-4•（-m）=m²-2m+9=（m-1）²+8＞0，
∴方程x²-（m-3）x-m=0有两个实数根，
设方程x²-（m-3）x-m=0的两个根为x₁，x₂，
则x₁+x₂=m-3＜0，x₁•x₂=-m＞0，
∴m＜0；
（3）∵PQ=√((m-3)2-4•(-m))=√((m-1)2+8)，
∴m=1时，PQ最短，最短值为√(8)=2√(2)，此时抛物线解析式为y=x²+2x-1=（x+1）²-2，
∴M点的坐标为（-1，-2），
∴△MPQ的面积=(1)/(2)×2×2√(2)=2√(2)．