已知函数g（x）=x2-ax+b，其图象对称轴为直线x=2，且g（x）的最小值为-1，设f（x）=g(x)x．（1）求实数a，b的值；（2）若不等式f（3x）-t•3x≥0在x∈[-2，2]上恒成立，求实数t的取值范围；（3）

Question

已知函数g（x）=x²-ax+b，其图象对称轴为直线x=2，且g（x）的最小值为-1，设f（x）=(g(x))/(x)．
（1）求实数a，b的值；
（2）若不等式f（3^x）-t•3^x≥0在x∈[-2，2]上恒成立，求实数t的取值范围；
（3）若关于x的方程f（|2^x-2|）+k•(2)/(|2x-2|)-3k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）∵函数g（x）=x²-ax+b，其图象对称轴为直线x=2，
∴(a)/(2)=2，
解得：a=4，
当x=2时，函数取最小值b-4=-1，
解得：b=3，
（2）由（1）得：g（x）=x²-4x+3，
f（x）=x-4+(3)/(x)
若不等式f（3^x）-t•3^x≥0在x∈[-2，2]上恒成立，
则t≤3•((1)/(3x))2-4((1)/(3x))+1在x∈[-2，2]上恒成立，
当3^x=(2)/(3)，即x=log₃2-1时，3•((1)/(3x))2-4((1)/(3x))+1取最小值-(1)/(3)，
故t≤-(1)/(3)，
（3）令t=|2^x-2|，t≥0，
则原方程可化为：t+(3)/(t)-4+(2k)/(t)-3k=0，
即t²-（4+3k）t+（3+2k）=0，
若关于x的方程f（|2^x-2|）+k•(2)/(|2x-2|)-3k=0有三个不同的实数解，
则方程t²-（4+3k）t+（3+2k）=0有两个根，
其中一个在区间（0，2）上，一个在区间[2，+∞），
令h（t）=t²-（4+3k）t+（3+2k），
则

△>0

h(0)>0

h(2)≤0

，
即

(4+3k)2-4(3+2k)>0

3+2k>0

4-2(4+3k)+(3+2k)≤0

，
解得：k∈[-(1)/(4)，+∞）