几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连结A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明

Question

几何模型：
条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．
问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．
方法：作点A关于直线l的对称点A′，连结A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．
模型应用：
（1）如图2，正方形是大家喜爱的一种轴对称图形，它的对角线所在的直线就是对称轴．现在有一个边长为2的正方形ABCD，E为AB的中点，P是AC上一动点． 请求出EP+PB的最小值．

（2）如图3，∠AOC=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴点B、D关于AC对称，
∴连接DE与AC的交点即为所求点P，EP+PB的最小值=DE，
由勾股定理得，DE=√(22+12)=√(5)；

（2）作点P关于OA的对称点P₁，关于OB的对称点P₂，连接P₁P₂，
则△PQR周长的最小值=P₁P₂，
连接OP₁、OP₂，则OP=OP₁=OP₂，∠AOP=∠AOP₁，∠BOP=∠BOP₂，
所以，OP₁=OP₂，∠P₁OP₂=2∠AOB=2×45°=90°，
所以，△OP₁P₂是等腰直角三角形，
∵PO=10，
∴PO₁=10，
∴P₁P₂=√(2)PO₁=10√(2)，
即△PQR周长的最小值为10√(2)．