解三角形—在△ABC中,已知a,b,c的对应角为A,B,C,且满足等式tanB=cos(B-C)/[sinA+sin(B-C)].若a=2,试求函数y=(b+c)/(bc+1)的最小值.

Question

解三角形—在△ABC中,已知a,b,c的对应角为A,B,C,且满足等式tanB=cos(B-C)/[sinA+sin(B-C)].
若a=2,试求函数y=(b+c)/(bc+1)的最小值.

Answer 1

∵sinA=sin(B+C)
∴tanB=cos(B-C)/〔sinA+sin(B-C)〕
=(cosC*cosB+sinC*sinB)/[sin(B+C)+sin(B-C)]
=(cosC*cosB+sinC*sinB)/(2*sinC*cosB)
=1/(2tanC)+tanB/2
∴2tanB=1/tanC+tanB
tanB*tanC=1
sinB*sinC/(cosB*cosC)=1
cosB*cosC-sinB*sinC=0
cos(B+C)=0
∴cosA=0
∴∠A=90° 是直角三角形
c^2+b^2=a^2=4≥2bc
y=(b+c)/(bc+1)≥2√bc/(bc+1)
令t=√bc≤√2,
y≥2t/(t^2+1)
显然f(x)=2t/(t^2+1)是减函数,这个你应该知道
所以当t取最大值√2时,ymin=2√2/3