在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA+cos2B+C2=1，D为BC上一点，且AD=14AB+34AC．（1）求sinA的值；（2）若a=42，b=5，求AD的长．

Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA+cos²(B+C)/(2)=1，D为BC上一点，且

AD

=(1)/(4)

AB

+(3)/(4)

AC

．
（1）求sinA的值；
（2）若a=4√(2)，b=5，求AD的长．

Answer 1

（1）∵sinA+cos²(B+C)/(2)=1，
∴sinA+(1+cos(B+C))/(2)=1，即2sinA-cosA=1，…2分
∴（2sinA-1）²=cos²A，即5sin²A-4sinA=0，
∵A∈（0，π），
∴sinA>0，
∴sinA=(4)/(5)，cosA=(3)/(5)…6分
（2）∵a=4√(2)，b=5，cosA=(3)/(5)，
∴由余弦定理可得：32=25+c²-2×5c×(3)/(5)，即：c²-6c-7=0，解得：c=7，…10分
∵

AD

=(1)/(4)

AB

+(3)/(4)

AC

，
∴

AD

²=(c2)/(16)+(9b2)/(16)+(3)/(8)bccosA=(49)/(16)+(9)/(16)×25+(3)/(8)×7×5×(3)/(5)=25，…12分
∴AD=5…14分