某市在旧城改造中△ABC中AB=AC,D为BC中点,以D为顶点作角MDN=角B（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．（2）如图（2），将∠MDN

Question

某市在旧城改造中△ABC中AB=AC,D为BC中点,以D为顶点作角MDN=角B（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形． （2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论． （3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的1/4时，求线段EF的长．

Answer 1

（1）图（1）中与△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE． 证明：∵AB=AC，D为BC的中点， ∴AD⊥BC，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD， 又∵∠MDN=∠B， ∴△ADE∽△ABD， 同理可得：△ADE∽△ACD， ∵∠MDN=∠C=∠B， ∠B+∠BAD=90°，∠ADE+∠EDC=90°， ∠B=∠MDN， ∴∠BAD=∠EDC， ∵∠B=∠C， ∴△ABD∽△DCE， ∴△ADE∽△DCE， （2）△BDF∽△CED∽△DEF， 证明：∵∠B+∠BDF+∠BFD=180° ∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°， 又∵∠EDF=∠B，∴∠BFD=∠CDE， 由AB=AC，得∠B=∠C， ∴△BDF∽△CED， ∴BD/DF=EC/DE． ∵BD=CD， ∴CD/DF=EC/DE． 又∵∠C=∠EDF， ∴△BDF∽△CED∽△DEF． （3）连接AD，过D点作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为G，H． ∵AB=AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC，BD=1/2 BC=6． 在Rt△ABD中，AD2=AB2-BD2， ∴AD=8 ∴S△ABC=1/2 BC•AD=1/2×12×8=48． S△DEF=1/4S△ABC=1/4×48=12． 又∵ 1/2AD*BD=1/2AB*DH， ∴DH=AD•BD/AB=8×6/10=24/5， ∵△BDF∽△DEF， ∴∠DFB=∠EFD ∵DG⊥EF，DH⊥BF， ∴DH=DG=24/5 ∵S△DEF=1/2×EF×DG=12， ∴EF=12/(1/2DG)=5．