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设命题p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0,命题q:实数x满足x2−x−6≤0|x+1|>3.(1)若a=1,且p且q为真,求实数x的取值范围;(2)非p是非q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
题目详情
设命题p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0,命题q:实数x满足
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(1)若a=1,且p且q为真,求实数x的取值范围;
(2)非p是非q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
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(1)若a=1,且p且q为真,求实数x的取值范围;
(2)非p是非q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵命题p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0,
∴由x2-4ax+3a2<0,得(x-3a)(x-a)<0.又a>0,所以a<x<3a,
当a=1时,1<x<3,
∴即p为真命题时,实数x的取值范围:1<x<3.
又∵命题q:实数x满足
.
由
解得即
∴所以q为真时,实数x的取值范围:2<x≤3.
∵若p且q为真,
∴p真q真,则
⇔2<x<3
∴实数x的取值范围是(2,3)
(2)∵不妨设A={x|x≤a,或x≥3a},B={x|x≤2,或x>3}
∵非p是非q的充分不必要条件,
∴A⊊B.
∴0<a≤2且3a>3,即1<a≤2.
∴实数a的取值范围是(1,2].
∴由x2-4ax+3a2<0,得(x-3a)(x-a)<0.又a>0,所以a<x<3a,
当a=1时,1<x<3,
∴即p为真命题时,实数x的取值范围:1<x<3.
又∵命题q:实数x满足
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由
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∴所以q为真时,实数x的取值范围:2<x≤3.
∵若p且q为真,
∴p真q真,则
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∴实数x的取值范围是(2,3)
(2)∵不妨设A={x|x≤a,或x≥3a},B={x|x≤2,或x>3}
∵非p是非q的充分不必要条件,
∴A⊊B.
∴0<a≤2且3a>3,即1<a≤2.
∴实数a的取值范围是(1,2].
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