在△ABC中，点D在BC边上，且满足CA2=CD•CB（如图1）（1）求证：ADAB=ACBC；（2）如图2，以点A为圆心，AB为半径画弧交AC的延长线于点E，联结BE，延长AD交BE于点F，求证：EFBF=ADBD

Question

在△ABC中，点D在BC边上，且满足CA²=CD•CB（如图1）
（1）求证：(AD)/(AB)=(AC)/(BC)；
（2）如图2，以点A为圆心，AB为半径画弧交AC的延长线于点E，联结BE，延长AD交BE于点F，求证：(EF)/(BF)=(AD)/(BD)

Answer 1

证明：（1）∵CA²=CD•CB，
∴CA：CD=CB：CA
∵∠C=∠C，
∴△CAB∽△CDA，
∴(AD)/(AB)=(AC)/(BC)；

（2）如图，过点B作BG∥AE，交AF的延长线于点G，

∵△ACD∽△BCA，
∴∠CAD=∠CBA，
∵BG∥AE，
∴∠G=∠CAD，
∴∠G=∠CBA，
又∠BAD=∠GAB，
∴△ABD∽△AGB，
∴(AD)/(AB)=(BD)/(GB)，即(AB)/(GB)=(AD)/(BD)，
∵BG∥AE，
∴(EF)/(BF)=(AE)/(GB)，
又∵AE=AB，
∴(EF)/(BF)=(AB)/(GB)，
∴(EF)/(BF)=(AD)/(BD)．