在△ABC中,AP为角A的平分线,AM为BC边上的中线,过B作BH⊥AP的延长线于H,AM的延长线交BH于Q,求证：PQ‖AB.（我不能上传图片,O（∩＿∩）O谢谢!）

Question

在△ABC中,AP为角A的平分线,AM为BC边上的中线,过B作BH⊥AP的延长线于H,AM的延长线交BH于Q,求证：PQ‖AB.
（我不能上传图片,O（∩＿∩）O谢谢!）

Answer 1

延长BH交AC的延长线于E,做CF垂直BE于F
∵CF‖AH ∴ΔECF∽EAH
设AC:CE=a:b
∴CF:PH=b/(a+b)
∵CF‖PH ∴ΔBHP∽ΔBFC
根据角平分线定理得：AB:AC=BP:CP
∵易证ΔABE为等腰三角形（AB=AE,用全等）
∴AB:AC=BP:CP=(a+b)/a
∵ΔBHP∽BFC ∴PH:CF=BP:BC=(a+b)/(2a+b)
∴PH:AH=b/(2a+b)
作CG平行MQ交BE于G
∵CG‖MQ‖AQ ∴ΔBQM∽ΔBGC ΔEGC∽ΔEQA
∵M为BC的中点 ∴BQ:QG=BM:MC=1
∵EG:GQ=EC:CA=b/a∴BQ:BH=BQ:0.5BE=a/(a+0.5b)∴QH:BH=0.5b/(a+0.5b)=b/(2a+b)
∵QH:BH=PH:AH=b/(2a+b)∴ΔPHQ∽ΔAHB
∵∠HPQ=∠HAB
∴PQ‖AB