正方形ABCD中，M，N分别是CB，DC延长线上的一点，且有DN-BM=MN．（1）求证：∠MAN=45°．（2）过点D作DP⊥AN交AM于P，连CP，求线段PA，PC，PD之间的数量关系．（3）若点C为DN的中点，且AB=1，求CP的

Question

正方形ABCD中，M，N分别是CB，DC延长线上的一点，且有DN-BM=MN．
（1）求证：∠MAN=45°．
（2）过点D作DP⊥AN交AM于P，连CP，求线段PA，PC，PD之间的数量关系．
（3）若点C为DN的中点，且AB=1，求CP的长．

Answer 1

（1）证明：如图1中，作AH⊥AM交CD于H．

∵∠HAB=∠DAB=90°，
∴∠DAH=∠BAM，
∵∠D=∠ABM=90°，AD=AB，
∴△ADH≌△ABM，
∴DH=BM，AH=AM，
∵DN-BM=MN，
∴DN-DH=MN
∴HN=MN，∵AN=AN，
∴△ANH≌△ANM，
∴∠NAM=∠NAH=45°．

（2） 结论：PA+PC=√(2)PD．
理由：如图2中，作DQ⊥PC于Q，DG⊥PA于G，PD交AC于O，交AN于T．

∵PD⊥AN，
∴∠ATP=90°，∵∠PAT=45°，
∴∠APO=∠DCO=45°，∵∠DOC=∠AOP，
∴△DOC∽△AOP，
∴(DO)/(AO)=(OC)/(OP)，
∴(DO)/(OC)=(AO)/(OP)，∵∠DOA=∠POC，
∴△DOA∽△COP，
∴∠CPD=∠DAO=45°，
∴∠DPA=∠DPC，
∵PD=PD，∠G=∠PQD=90°，
∴△PDO≌△PDQ，
∴DG=DQ，PG=PQ，
易证△ADG≌△CDQ，四边形PQDG是正方形，
∴AQ=CQ，
∴PA+PC=（PG-AG）+（PQ+CQ）=2PG，
∵PD=√(2)PG，
∴PA+PC=√(2)PD．

（3） 如图3中，连接AC．

由（2）可知DN-BM=MN，设BM=x则MN=2-x，
在Rt△CMN中，∵CM²+CN²=MN²，
∴（x+1）²+1²=（2-x）²，
∴x=(1)/(3)，
由（2）可知PC⊥AM，
∴(1)/(2)•AM•PC=(1)/(2)•CM•AB，
∴PC=(1×(4)/(3))/(√(12+((1)/(3))2))=(2√(10))/(5)．