如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，DE⊥BC，交BC的延长线于点E，BD交AC于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若CE=1，ED=2，求⊙O的半径和tan∠DBE的值．

Question

如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，DE⊥BC，交BC的延长线于点E，BD交AC于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CE=1，ED=2，求⊙O的半径和tan∠DBE的值．

Answer 1

（1）连接OD，
∠EBD=∠ABD，∠ABD=∠ODB，则∠EBD=∠ODB，
则OD∥BE，
∠ODE=∠DEB=90°，
DE是⊙O的切线；

（2）设OD交AC于点M，
∵OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACE=90°，
∵∠DEC=90°，
∴四边形DMCE是矩形，DM=EC=1，
AM=MC=DE=2，
设⊙O的半径为x，得x²=2²+（x-1）²，
解得：x＝(5)/(2)，
∴⊙O的半径为(5)/(2)，
∵DE是圆的切线，
∴DE²=CE•BE，
∵CE=1，ED=2，
∴4=1×BE，
∴BE=4，
∴tan∠DBE=(DE)/(BE)=(2)/(4)=(1)/(2)．