（2006•南平）如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，连接CG．请探究：（1）线段AE与CG是否相等请说明理由：（2）若设AE=x，D

Question

（2006•南平）如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，连接CG．请探究：
（1）线段AE与CG是否相等请说明理由：
（2）若设AE=x，DH=y，当x取何值时，y最大？
（3）连接BH，当点E运动到AD的何位置时，△BEH∽△BAE？

Answer 1

（1）AE=CG．
理由：正方形ABCD和正方形BEFG中，
∠3+∠5=90°，
∠4+∠5=90°，
∴∠3=∠4．
又AB=BC，BE=BG，
∴△ABE≌△CBG．
∴AE=CG．

（2）∵正方形ABCD和正方形BEFG，
∴∠A=∠D=∠FEB=90°．
∴∠1+∠2=90°∠2+∠3=90°．
∴∠1=∠3．
又∵∠A=∠D，
∴△ABE∽△DEH．
∴(DH)/(AE)＝(DE)/(AB)．
∴(y)/(x)＝(1−x)/(1)．
∴y=-x²+x
=-（x-(1)/(2)）²+(1)/(4)
当x=(1)/(2)时，y有最大值为(1)/(4)．

（3）当E点是AD的中点时，△BEH∽△BAE，
理由：∵E是AD中点，
∴AE=(1)/(2)．
∴DH=(1)/(4)．
又∵△ABE∽△DEH，
∴(EH)/(BE)＝(DH)/(AE)＝(1)/(2)．
又∵(AE)/(AB)＝(1)/(2)，
∴(AE)/(AB)＝(EH)/(BE)．
又∠DAB=∠FEB=90°，
∴△BEH∽△BAE．