已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE．（1）如图1，连接BG、DE．求证：BG=DE；（2）如图2，如果正方形ABCD的边长为2，将正方形CEFG绕着点C旋转到某一位置时恰好使得CG∥BD，BG=BD．

Question

已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE．
（1）如图1，连接BG、DE．求证：BG=DE；
（2）如图2，如果正方形ABCD的边长为√(2)，将正方形CEFG绕着点C旋转到某一位置时恰好使得CG∥BD，BG=BD．
①求∠BDE的度数；
②请直接写出正方形CEFG的边长的值．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD和CEFG为正方形，
∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠GCE=90°．
∴∠BCD+∠DCG=∠GCE+∠DCG，
∴∠BCG=∠DCE．
在△BCG和△DCE中，

BC＝DC

∠BCG＝∠DCE

CG＝CE

，
∴△BCG≌△DCE（SAS）．
∴BG=DE；

（2）①连接BE．
由（1）可知：BG=DE．
∵CG∥BD，
∴∠DCG=∠BDC=45°．
∴∠BCG=∠BCD+∠GCD=90°+45°=135°．
∵∠GCE=90°，
∴∠BCE=360°-∠BCG-∠GCE=360°-135°-90°=135°．
∴∠BCG=∠BCE．
∵BC=BC，CG=CE，
在△BCG和△BCE中，

BC＝BC

∠BCG＝∠BCE

GC＝EC

，
∴△BCG≌△BCE（SAS）．
∴BG=BE．
∵BG=BD=DE，
∴BD=BE=DE．
∴△BDE为等边三角形．
∴∠BDE=60°．
②延长EC交BD于点H，
在△BCE和△BCG中，

DE＝BE

DC＝BC

CE＝CE

，
∴△BCE≌△BCG（SSS），
∴∠BEC=∠DEC，
∴EH⊥BD，BH=(1)/(2)BD．
∵BC=CD=√(2)，在Rt△BCD中由勾股定理，得
∴BD=2．
∴BH=1．
∴CH=1．
在Rt△BHE中，由勾股定理，得
EH=√(3)，
∴CE=√(3)-1．
∴正方形CEFG的边长为√(3)−1．