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(Ⅰ)设n维向量组α1,α2,…,αs线性无关,β1,β2,…,βt线性无关,且s+t>n,证明:存在非零n维向量ξ,ξ既可由α1,α2,…,αs线性表示,又可由β1,β2,…,βt线性表示;(Ⅱ)已
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(Ⅰ)设n维向量组α1,α2,…,αs线性无关,β1,β2,…,βt线性无关,且s+t>n,证明:存在非零n维向量ξ,ξ既可由α1,α2,…,αs线性表示,又可由β1,β2,…,βt线性表示;
(Ⅱ)已知α1=(1,2)T,α2=(2,3)T,β1=(3,4)T,β2=(4,5)T,求既可由α1,α2线性表示,又可由β1,β2线性表示的所有非零向量ξ.
(Ⅱ)已知α1=(1,2)T,α2=(2,3)T,β1=(3,4)T,β2=(4,5)T,求既可由α1,α2线性表示,又可由β1,β2线性表示的所有非零向量ξ.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)证:因s+t>n,故n维向量组α1,α2,…αs,β1,β2,…βt必线性相关,即有不全
为零的数k1,k2,…,ks,l1,l2,…lt,使
k1α1+k2α2+…+ksαs+l1β1+l2β2+…+ltβt=0,
于是必有n维向量ξ,使
k1α1+k2α2+…+ktαt=ξ=-l1β1-l2β2-…-ltβt.
而且ξ≠0,否则,由α1,α2,…αt线性无关及β1,β2,…βt线性无关,可得k1=k2=
…=kt=0,l1=l2=…=lt=0与前设其不全为零矛盾.
(Ⅱ)因α1,α2线性无关,β1,β2线性无关,而s+t=4>n=2,由(Ⅰ)知,先求齐
次线性方程组(α1,α2,β1,β2)X=0的非零解即可.
(α1,α2,β1,β2)═→
,则非零解为
k1(1,-2,1,0)T+k2(2,-3,0,1)T=(k1+2k2,-2k1-3k2,k1,k2)T
(k1,k2为不全为零的任意常数)
于是所求非零向量为
ξ=(k1+2k2)α1+(-2k1-3k2)α2=-k1β1-k2β2=(-3k1-4k2,-4k2-5k2)T
(k1,k2为不全为零的任意常数)
为零的数k1,k2,…,ks,l1,l2,…lt,使
k1α1+k2α2+…+ksαs+l1β1+l2β2+…+ltβt=0,
于是必有n维向量ξ,使
k1α1+k2α2+…+ktαt=ξ=-l1β1-l2β2-…-ltβt.
而且ξ≠0,否则,由α1,α2,…αt线性无关及β1,β2,…βt线性无关,可得k1=k2=
…=kt=0,l1=l2=…=lt=0与前设其不全为零矛盾.
(Ⅱ)因α1,α2线性无关,β1,β2线性无关,而s+t=4>n=2,由(Ⅰ)知,先求齐
次线性方程组(α1,α2,β1,β2)X=0的非零解即可.
(α1,α2,β1,β2)═→
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k1(1,-2,1,0)T+k2(2,-3,0,1)T=(k1+2k2,-2k1-3k2,k1,k2)T
(k1,k2为不全为零的任意常数)
于是所求非零向量为
ξ=(k1+2k2)α1+(-2k1-3k2)α2=-k1β1-k2β2=(-3k1-4k2,-4k2-5k2)T
(k1,k2为不全为零的任意常数)
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