已知复数z=(m2−m−2)+(m2+m)i1+i（m∈R，i是虚数单位）是纯虚数．（1）求m的值；（2）若复数w，满足|w-z|=1，求|w|的最大值．

Question

已知复数z=((m2−m−2)+(m2+m)i)/(1+i)（m∈R，i是虚数单位）是纯虚数．
（1）求m的值；
（2）若复数w，满足|w-z|=1，求|w|的最大值．

Answer 1

（1）∵复数z=((m2−m−2)+(m2+m)i)/(1+i)
=([(m2−m−2)+(m2+m)i](1−i))/((1+i)(1−i))
=(2m2−2+(2m+2)i)/(2)
=（m²-1）+（m+1）i是纯虚数．
∴

m2−1＝0

m+1≠0

，解得m=1．
∴m的值是1．
（2）由（1）可知：z=2i．设w=a+bi（a，b∈R）．
∵|w-2i|=1，∴√(a2+(b−2)2)＝1，∴a²+（b-2）²=1，（*）
∴|w|=√(a2+b2)=√(1−(b−2)2+b2)=√(4b−3)．
由（*）可知：（b-2）²≤1，1≤b≤3.√(4b−3)≤√(9)＝3．
∴|w|的最大值为3．