在复平面上，点P（x，y）所对应的复数p=x+yi（i为虚数单位），z=a+bi（a、b∈R）是某给定复数，复数q=p•z所对应的点为Q（x′，y′），我们称点P经过变换z成为了点Q，记作Q=z（P）．（1）给出

Question

在复平面上，点P（x，y）所对应的复数p=x+yi（i为虚数单位），z=a+bi（a、b∈R）是某给定复数，复数q=p•z所对应的点为Q（x′，y′），我们称点P经过变换z成为了点Q，记作Q=z（P）．
（1）给出z=1+2i，且z（P）=Q（8，1），求点P的坐标；
（2）给出z=3+4i，若P在椭圆(x2)/(9)+(y2)/(4)=1上运动，Q=z（P），求|OQ|的取值范围；
（3）已知P在双曲线x²-y²=1上运动，试问是否存在z，使得Q=z（P）在双曲线y=(1)/(x)上运动？若存在，请求出z；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）根据题意，有8+i=（1+2i）•p
∴p=((8+i)(1-2i))/((1+2i)(1-2i))=(10-15i)/(5)=2-3i，∴点P的坐标为（2，-3）
（2）∵P在椭圆(x2)/(9)+(y2)/(4)=1上运动，∴|p|=|OP|∈[2，3]
又|z|=5，∴|OQ|=|q|=|p•z|∈[10，15]
（3）不存在．
假设存在z=a+bi（a，b∈R），使得Q=z（P）在曲线y=(1)/(x)上运动．
在直线y=3x+1上取点P1（0，1），所以q₁=z•p₁=-b+ai，对应的Q1（-b，a）在曲线y=(1)/(x)上，所以-b=(1)/(a)，即ab=-1．
再取点P₂（-(1)/(3)，0），所以q1=z•p1=-(a)/(3)+(-(b)/(3))i，对应的点Q1（-(a)/(3)，-(b)/(3)）在曲线y=(1)/(x)上，所以-(b)/(3)=-(a)/(3)
即ab=9．
二者矛盾，所以不存在满足条件的z．