在复平面内，设点A、P所对应的复数分别为πi、cos（2t-π3）+isin（2t-π3）（i为虚数单位），则当t由π12连续变到π4时，向量AP所扫

Question

在复平面内，设点A、P所对应的复数分别为πi、cos（2t- (π)/(3) ）+isin（2t- (π)/(3) ）（i为虚数单位），则当t由 (π)/(12) 连续变到 (π)/(4) 时，向量

AP

所扫过的图形区域的面积是______．

Answer 1

由题意可得，点P在单位圆上，点A的坐标为（0，π）．
 t= (π)/(12) 时，点P的坐标为P ₁ （ (3)/(2) ，- (1)/(2) ）； 当t= (π)/(4)  时，点P的坐标为P ₂ （ (3)/(2) ， (1)/(2) ），
向量

AP

所扫过的图形区域的面积是△AP ₁ P ₂ 的面积与弓形的面积之和，
而△AP ₁ P ₂ 的面积等于△OP ₁ P ₂ 的面积（因为这两个三角形同底且等高），
故向量

AP

所扫过的图形区域的面积是扇形P ₁ OP ₂ 的面积．
由于∠P ₁ OP ₂ =2× (π)/(6) = (π)/(3) ，∴扇形P ₁ OP ₂ 的面积为
等于 (1)/(2) ×(π)/(3) ×1 2 = (π)/(6) ，
故答案为 (π)/(6) ．