复平面内三点A、B、C依次对应于复数1+Z,1+2Z,1+3Z,其中Z的模=2,O为原点,若S△AOB+S△BOC=2,求复数Z

Question

复平面内三点A、B、C依次对应于复数1+Z,1+2Z,1+3Z,其中Z的模=2,O为原点,若S△AOB+S△BOC=2,求复数Z

Answer 1

复平面内三点A、B、C依次对应于复数1+Z,1+2Z,1+3Z,其中Z的模=2,O为原点,若S△AOB+S△BOC=2,求复数Z
【解】设复数Z=a+bi,则在复平面中,A点坐标为：（1+a,b）；B点坐标为：（1+2a,2b）；C点坐标为：（1+3a,3b）
有了上面三个坐标,就可以将复数问题转化为解析几何问题来解决
由于Z的模=2,所以：a^2+b^2=4
下面利用条件S△AOB+S△BOC=2
要求△AOB的面积,就要求AB的长度和O点到AB的距离
两点间距离公式：AB=根号（a^2+b^2）=2
而直线AB的方程为：ay-bx+b=0,所以O点到AB直线的距离是：|b|/2
所以：S△AOB=|b|/2
同理△BOC中直线BC的方程为：ay-bx+b=0【说明A、B、C三点共线】而O点到BC直线的距离是：|b|/2
所以：S△BOC=|b|/2
即：|b|=2
那么：b=正负2,可得：a=0
于是复数Z为：2i或-2i
【OK】