用数学归纳法证明题用数学归纳法证明:1-2的平方+3的平方-4的平方+...+(-1)的n-1次方乘n的平方=(-1)的n-1次方乘以{n(n+1)/2}n属于N*

Question

用数学归纳法证明题
用数学归纳法证明:1-2的平方+3的平方-4的平方+...+(-1)的n-1次方乘n的平方=(-1)的n-1次方乘以{n(n+1)/2}
n属于N*

Answer 1

(1)当n为偶数时
(1^2-2^2)+(3^2-4^2)+.+[(n-1)^2-n^2]
=(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+.+[(n-1)-n][(n-1)+n]
=-(1+2+3+...+n)=-n(n+1)/2
(2)当n为奇数时
(1^2-2^2)+(3^2-4^2)+.+[(n-2)^2-(n-1)^2]+n^2
=(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+.+[(n-2)-(n-1)][(n-2)+(n-1)]+n^2
=-(1+2+3+...+(n-1))+n^2
=-(n-1)n/2+n^2
=n(n+1)/2
综合上述之结论可得
1^2-2^2+3^2-4^2+...+(-1)^(n-1)n^2=[(-1)^(n-1)] *n(n+1)/2