试用数学归纳法证明：对任意正整数n，都有13+23+…+n3=（1+2+…+n）2．

Question

试用数学归纳法证明：对任意正整数n，都有1³+2³+…+n³=（1+2+…+n）²．

Answer 1

（本题8分）
证明：①当n=1时，左边=1³=1，右边=1²=1，等式成立．
②假设当n=k（k∈N^*，k≥1）时，等式成立，即1³+2³+…+k³=（1+2+…+k）²，
则当n=k+1时，
（1+2+…+k+（k+1））²=（1+2+…+k）²+2（k+1）（1+2+…+k）+（k+1）²
=13+23+…+k3+(k+1)(2•(1+k)/(2)•k+k+1)
=1³+2³+…+k³+（k+1）³，
这就是说n=k+1时等式也成立．
从而①②可知对任意正整数n，都有1³+2³+…+n³=（1+2+…+n）²均成立．