已知数列{an}满足如下所示的程序框图，（1）写出数列{an}的一个递推公关系；（2）证明：{an+1-3an}是等比数列，并球{an}的通项公式（3）求数列{nan+3n-1}的前n项和Tn．

Question

已知数列{a_n}满足如下所示的程序框图，
（1）写出数列{a_n}的一个递推公关系；
（2）证明：{a_n+1-3a_n}是等比数列，并球{a_n}的通项公式
（3）求数列{(n)/(an+3n-1)}的前n项和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）由程序框图可知，
数列{an}的一个递推关系式a₁=1，a₂=1，
a _n+2=5a_n+1-6a_n．
（Ⅱ）数列{a_n}的一个递推关系式，
a _n+2=5a_n+1-6a_n；
则a_n+2-3a_n+1 =2（a _n+1-3a_n），且a₂-3a₁=-2
∴数列{a_n+1-3a_n}是以-2为首项，2为公比的等比数列
（III）由（II）有a_n+1-3a_n=-2 ⁿ
∴(an+1)/(3n+1)-(an)/(3n)=-(1)/(3)× ((2)/(3))n
∴(an)/(3n)=(a1)/(3)+（(a2)/(32)-(a1)/(3)）+（(a3)/(33)-(a2)/(32)）+…+（(an)/(3n)-(an-1)/(3n-1)）（n≥2）
=(1)/(3)-(1)/(3)×(2)/(3)-(1)/(3)×((2)/(3))2-(1)/(3)×((2)/(3))n-1
=((2)/(3))n-(1)/(3)
∴a_n=2ⁿ-3^n-1（n≥2）
当n=1时，也满足上式，故a_n=2ⁿ-3^n-1
前n项和S_n=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-（1+3+3²+…+3^n-1）
=2n+1-(3n)/(2)-(3)/(2)．