|x+1|+|x-2|+|x-4|+|x+2|的最小值是多少?求解题思路,

Question

|x+1|+|x-2|+|x-4|+|x+2|的最小值是多少?求解题思路,

Answer 1

多个绝对值,方法就是把绝对值打开,在打开绝对值的时候,要注意正负号问题,为了解决这样的问题,往往需要对绝对值里的未知数的正负号进行讨论.对于多个绝对值的式子,我们可以令所有绝对值里的数字为0,然后分别讨论.
令x+1=0,x-2=0,x-4=0,x+2=0,得到x=-2,-1,2,4
【1】当x≤-2时,绝对值里的式子都是负数,解开后都要加上负号,这样
原式=-x-1-x+2-x+4-x-2=-4x+3
【2】当-2≤x≤-1时,x+2为正,其他都为负,那么
原式=-x-1-x+2-x+4+x+2=-2x+7
【3】当-1≤x≤2时,x+1,x+2为正,其他为负,那么
原式=x+1-x+2-x+4+x+2=9
【4】当2≤x≤4时,x-4为负,其他都为正,那么
原式=x+1+x-2-x+4+x+2=3x+5
【5】当x≥4时,绝对值里的式子都是正数,那么
原式=x+1+x-2+x-4+x+2=4x-3
根据以上的分析,可以看到：
【1】中,f（x）=-4x+3为减函数,显然当x=-2时,取到最小值11
【2】中,f（x）=-2x+7为减函数,当x=-1时,取到最小值9
【3】中,f（x）=9,最小值为9
【4】中,f（x）=3x+5为增函数,当x=2时,取到最小值11
【5】中,f（x）=4x-3为增函数,当x=4时,取到最小值13
综上,函数的最小值为9