用综合法或分析法证明：（1）如果a＞0，b＞0，则lga+b2≥lga+lgb2；（2）求证：6−5＞22−7．

Question

用综合法或分析法证明：
（1）如果a＞0，b＞0，则lg(a+b)/(2)≥(lga+lgb)/(2)；
（2）求证：√(6)−√(5)＞2√(2)−√(7)．

Answer 1

（1）证明：∵a＞0，b＞0，∴a+b≥2√(ab)． …（3分）
（当且仅当a=b时，取“=”号） 即：(a+b)/(2)≥√(ab)＞0． …（4分）
又 y=lgx在（0，+∞）上增函数，…（5分）
所以，lg(a+b)/(2)≥ lg√(ab)＝(lgab)/(2)=(lga+lgb)/(2)，故lg(a+b)/(2)≥(lga+lgb)/(2)成立．…（7分）
（2）证明：要证√(6)−√(5)＞2√(2)−√(7)，
只需证

作业帮用户 2016-11-18

问题解析

（1）利用基本不等式可得(a+b)/(2)≥√(ab)＞0，再由y=lgx在（0，+∞）上增函数，从而有lg(a+b)/(2)≥(lga+lgb)/(2)．
（2）用分析法证明不等式成立，就是寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件显然成立为止．

名师点评

本题考点：

综合法与分析法(选修）．

考点点评：

本题主要考查对数函数的单调性和定义域，基本不等式的应用，用分析法证明不等式，属于中档题．

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