已知f(x)＝ln1+x1−x，(−1＜x＜1)（1）判断f（x）的奇偶性；（2）解关于x的方程f(x)＝ln1x；（3）解关于x的不等式f（x）+ln（1-x）＞1+lnx．

Question

已知f(x)＝ln(1+x)/(1−x)，(−1＜x＜1)
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）解关于x的方程f(x)＝ln(1)/(x)；
（3）解关于x的不等式f（x）+ln（1-x）＞1+lnx．

Answer 1

（1）函数的定义域为（-1，1）
∵f(−x)＝ln(1+x)/(1−x)＝ln(1−x)/(1+x)＝−f(x)
∴f（x）是奇函数；
（2）由题意

−1＜x＜1

x＞0

，∴0＜x＜1
f(x)＝ln(1)/(x)，即(1+x)/(1−x)＝(1)/(x)
∵0＜x＜1，∴x²+2x-1=0
∴x=-1±√(2)，
∵0＜x＜1，∴x=√(2)-1；
（3）由题意，

−1＜x＜1

1−x＞0

x＞0

，∴0＜x＜1
不等式f（x）+ln（1-x）＞1+lnx等价于ln(1+x)/(1−x)+ln（1-x）＞1+lnx
∴1+x＞ex
∴x＜(1)/(e−1)
∵0＜x＜1，∴0＜x＜(1)/(e−1)
∴不等式的解集为（0，

作业帮用户 2016-11-17

问题解析

（1）确定函数的定义域，验证f（x）与f（-x）的关系即可得到结论；
（2）确定x的范围，可得一元二次方程，可求方程的解；
（3）确定x的范围，可得一元一次不等式，可求不等式的解集．

名师点评

本题考点：

对数函数的单调性与特殊点；函数奇偶性的判断；函数的零点．

考点点评：

本题考查函数的奇偶性，考查对数的运算，考查解方程与不等式，属于基础题．

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