讨论函数f（x）=lg（1+x）+lg（1-x）的奇偶性与单调性．

Question

讨论函数f（x）=lg（1+x）+lg（1-x）的奇偶性与单调性．

Answer 1

由题意，得

1+x＞0

1−x＞0

，解得-1＜x＜1，
∴f（x）的定义域为（-1，1）．
又∵f（-x）=lg（1-x）+lg（1+x）=f（x），
∴f（x）为偶函数．
f（x）=lg（1-x）+lg（1+x）=lg[（1-x）（1-x）]=lg（1-x²）．
设x₁，x₂∈（-1，0）且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁+x₂＜0，
∴（1-x₁²）-（1-x₂²）=（x₂-x₁）（x₁+x₂）＜0，
即1-x₁²＜1-x₂²，
∴lg（1-x₁²）＜lg（1-x₂²），
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）=lg（1+x）+lg（1-x）在（-1，0）内单调递增．
又∵f（x）是偶函数，
∴f（x）=lg（1+x）+lg（1-x）在（0，1）内单调递减．