若函数．(Ⅰ)求函数f(x)的定义域，判断函数f(x)的奇偶性．(Ⅱ)若关于θ(θ∈R)的方程f(sinθ)=2，求θ．

Question

若函数．
(Ⅰ)求函数f(x)的定义域，判断函数f(x)的奇偶性．
(Ⅱ)若关于θ(θ∈R)的方程f(sinθ)=2，求θ．____

Answer 1

【分析】(I)根据指数函数的真数必须大于0，易构造使函数f(x)=log₂(2+x)+log₂(2-x)的解析式有意义的自变量x满足的不等式组，解不等式即可得到函数的定义域，再由函数奇偶性的定义，即可判断出函数f(x)的奇偶性；
\n(Ⅱ)利用对数的运算性质，易将方程f(sinθ)=2转化为一个三角方程，解三角方程，即可得到答案．

(Ⅰ)要使函数f(x)=log₂(2+x)+log₂(2-x)的解析式有意义．
\n自变量x必须满足：，
\n解得-2<x<2，
\n∴函数f(x)=log₂(2+x)+log₂(2-x)的定义域为(-2，2).
\n又∵f(-x)=log₂(2-x)+log₂(2+x)=f(x)，
\n故函数f(x)=log₂(2+x)+log₂(2-x)为偶函数.
\n(Ⅱ)∵f(sinθ)=log₂(2+sinθ)+log₂(2-sinθ)=log₂(4-sin²θ)，
\n∴方程f(sinθ)=2可化为4-sin²θ=4，
\n即sin²θ=0，即sinθ=0，
\n解得θ=kπ(k∈Z).

【点评】本题考查的知识点是对数函数的定义域，三角函数的恒等变换及化简求值，其中熟练掌握对数函数的性质及对数的运算法则是解答本题的关键．