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利用奇偶性求定积分∫(a,-a)(x+√(a∧2-x∧2))
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利用奇偶性求定积分∫(a,-a)(x+√(a∧2-x∧2))
▼优质解答
答案和解析
∵x是奇函数,√(a^2-x^2)是偶函数
∴∫xdx=0,∫√(a^2-x^2)dx=2∫√(a^2-x^2)dx
故∫(x+√(a^2-x^2))dx
=∫xdx+∫√(a^2-x^2)dx
=2∫√(a^2-x^2)dx
=2a^2∫(cost)^2dt (令x=asint)
=a^2∫(1+cos(2t))dt (应用倍角公式)
=a^2*(π/2)
=πa^2/2.
∴∫xdx=0,∫√(a^2-x^2)dx=2∫√(a^2-x^2)dx
故∫(x+√(a^2-x^2))dx
=∫xdx+∫√(a^2-x^2)dx
=2∫√(a^2-x^2)dx
=2a^2∫(cost)^2dt (令x=asint)
=a^2∫(1+cos(2t))dt (应用倍角公式)
=a^2*(π/2)
=πa^2/2.
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