已知定义域为R的偶函数f（x）满足对于任意实数x，都有f（1+x）=f（1-x），且当0≤x≤1时，f（x）=3x+1．（1）求证：函数f（x）是周期函数；（2）当x∈[1，3]时，求f（x）的解析式．

Question

已知定义域为R的偶函数f（x）满足对于任意实数x，都有f（1+x）=f（1-x），且当0≤x≤1时，f（x）=3^x+1．
（1）求证：函数f（x）是周期函数；
（2）当x∈[1，3]时，求f（x）的解析式．

Answer 1

（1）对任意实数x都有
f（x+2）=f[1+（1+x）]=f[1-（1+x）]=f（-x），
由于f（x）为偶函数，f（-x）=f（x）
∴f（x+2）=f（x）
∴函数f（x）是以2为周期的周期函数．
（2）当x∈[1，2]时，2-x∈[0，1]
则f（x）=f（-x）=f（2-x）=3^2-x+1=3^3-x，
当x∈[2，3]时，x-2∈[0，1]
则f（x）=f（x-2）=3^x-2+1=3^x-1，
综上，f（x）=

33−x，x∈[1，2]

3x−1，x∈[2，3]