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已知定义域为R的偶函数f(x)满足对于任意实数x,都有f(1+x)=f(1-x),且当0≤x≤1时,f(x)=3x+1.(1)求证:函数f(x)是周期函数;(2)当x∈[1,3]时,求f(x)的解析式.
题目详情
已知定义域为R的偶函数f(x)满足对于任意实数x,都有f(1+x)=f(1-x),且当0≤x≤1时,f(x)=3x+1.
(1)求证:函数f(x)是周期函数;
(2)当x∈[1,3]时,求f(x)的解析式.
(1)求证:函数f(x)是周期函数;
(2)当x∈[1,3]时,求f(x)的解析式.
▼优质解答
答案和解析
(1)对任意实数x都有
f(x+2)=f[1+(1+x)]=f[1-(1+x)]=f(-x),
由于f(x)为偶函数,f(-x)=f(x)
∴f(x+2)=f(x)
∴函数f(x)是以2为周期的周期函数.
(2)当x∈[1,2]时,2-x∈[0,1]
则f(x)=f(-x)=f(2-x)=32-x+1=33-x,
当x∈[2,3]时,x-2∈[0,1]
则f(x)=f(x-2)=3x-2+1=3x-1,
综上,f(x)=
f(x+2)=f[1+(1+x)]=f[1-(1+x)]=f(-x),
由于f(x)为偶函数,f(-x)=f(x)
∴f(x+2)=f(x)
∴函数f(x)是以2为周期的周期函数.
(2)当x∈[1,2]时,2-x∈[0,1]
则f(x)=f(-x)=f(2-x)=32-x+1=33-x,
当x∈[2,3]时,x-2∈[0,1]
则f(x)=f(x-2)=3x-2+1=3x-1,
综上,f(x)=
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