已知为实常数，函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个不同的零点；（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）求证：且.（注：为自然对数的底数）

Question

已知 为实常数，函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 有两个不同的零点 ；
（Ⅰ）求实数 的取值范围；
（Ⅱ）求证： 且 .（注： 为自然对数的底数）

Answer 1

已知 为实常数，函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 有两个不同的零点 ；
（Ⅰ）求实数 的取值范围；
（Ⅱ）求证： 且 .（注： 为自然对数的底数）

（1）详见解析；（2） ，证明详见解析.

试题分析：本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及不等式等基础知识，考查函数思想、分类讨论思想，考查综合分析和解决问题的能力.第一问，先对函数求导，由于函数有定义域，所以 恒大于0，所以对 进行讨论，当 时，导数恒正，所以函数在 上是增函数，当 时， 的根为 ，所以将定义域从 断开，变成2部分，分别判断函数的单调性；第二问，（1）通过第一问的分析，只有当 时，才有可能有2个零点，需要讨论函数图像的最大值的正负，当最大值小于等于0时，最多有一个零点，当最大值大于0时，还需要判断在最大值点两侧是否有纵坐标小于0的点，如果有就符合题意，（2）由（1）可知函数的单调性，只需判断出 和 的正负即可，经过分析，因为 ,所以 .只要证明: 就可以得出结论，所以下面经过构造函数证明，只需求出函数的最值即可.
试题解析：（I） 的定义域为 ．其导数 ．   1分
①当 时， ，函数在 上是增函数；    2分
②当 时，在区间 上， ；在区间 上， ．
所以 在 是增函数，在 是减函数.     4分
（II）①由（I）知，当 时，函数 在 上是增函数，不可能有两个零点
当 时， 在 是增函数，在 是减函数，此时 为函数 的最大值，
当 时，

作业帮用户 2017-10-16

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