已知函数f（x）=lnx-ax+1-ax-1（a∈R），当a≤12时，讨论f（x）的单调性．

Question

已知函数f（x）=lnx-ax+ (1-a)/(x) -1（a∈R），当a≤ (1)/(2) 时，讨论f（x）的单调性．

Answer 1

f′(x)=(1)/(x) -a-(1-a)/(x2) =- (a x2 -x+1-a)/(x2) =- ([ax+(a-1)](x-1))/(x2) （x＞0），
令g（x）=ax ² -x+1-a，
①当a=0时，g（x）=-x+1，当x∈（0，1）时，g（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
②当0＜a＜ (1)/(2) 时，由f′（x）=0，x ₁ =1，x ₂ = (1)/(a) -1．此时 (1)/(a) -1＞1＞0，
列表如下：



由表格可知：函数f（x）在区间（0，1）和 ((1)/(a) -1，+∞) 上单调递减，在区间 (1，(1)/(a) -1) 上单调递增；
③当a= (1)/(2) 时，x ₁ =x ₂ ，此时f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）单调递减；
④当a＜0时，由于 (1)/(a) -1＜0，则函数f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增．
综上：当a≤0时，函数f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增．
当a= (1)/(2) 时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．
当 0＜a＜(1)/(2) 时，函数f（x）在区间（0，1）和 ((1)/(a) -1，+∞) 上单调递减，在区间 (1，(1)/(a) -1) 上单调递增．